Page MenuHomePhabricator

Aritkel "Dualraum"
Open, Needs TriagePublic

Description

Artikel: https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Dualraum

Idee: Die Elemente unseres Dualraums stellen wir uns als Messapparaturen vor, mit Hilfe derer wir Infomation über die Elemente des ursprünglichen Vektorraums erlangen können. Von der linearen Algebra aus kommend ist die Beschränkung auf lineare Abbildungen halbwegs natürlich, und die Einschränkung auf stetige lineare Abbildungen für den topologischen Dualraum auch. Für uns schien also die grundlegende Idee/Motivation zu sein, dass wir über den Dualraum unseren Vektorraum beschreiben/untersuchen können. Das ist im ersten Moment vielleicht (zumindest für einen Erstsemesterstudent irritierend), da der Dualraum oft viel komplizierter wirkt, aber unserer Erfahrung nach oft hilfreich. Natürlich kann man das ganze auch "umdrehen" und durch Studium des ursprünglichen Vektorraums Dinge über den Dualraum (oder seinen Dualraum, den Bidualraum) erfahren.

Event Timeline

Hier ist eine gute Motivation, warum wir Dualräume betrachten:
https://math.stackexchange.com/questions/3749/why-do-we-care-about-dual-spaces

Das bringt uns zu der Vorstellung, dass Elemente des Dualraums zu (verallgemeinerten) Hyperebenen korrespondieren.

Es wird noch nicht beantwortet, warum das ein Vektorraum gibt. Also, was ist Addition und skalare Multiplikation in dieser Vorstellung?

Bei dem oben verlinkten stackexchange-Post geht es eher um das im Titel angesprochene "Warum Dualraum?" als um eine Grundvorstellung. Denn in dem Post wird als eine Anwendung des Dualraums die leichtere Beschreibbarkeit von Hyperebenen genannt. Ein Element aus dem Dualraum korrespondiert aber nicht 1-zu-1 zu einer Hyperebene. Ein Element aus dem Dualraum würde z.B. zu einer Hyperebene zusammen mit einer gerichteten Länge des Vertikalvektors korrespondieren. Aber in einer solchen Vorstellung ist - wie Anne oben auch bemerkt hat - die Addition nicht so schnell einsehbar.
Man könnte dann auch gleich über den Vertikalvektor reden, aber dann wäre die Vorstellung von Elementen aus dem Dualraum wieder stark verknüpft an die Vorstellung von Elementen aus dem Vektorraum, wogegen Emma zurecht war.

Ich halte die Vorstellung, dass Elemente des Dualraums "lineare Messapparaturen" sind, mit denen man Werte aus dem Grundkörper erhält, für grundlegender. Hier kann man halt sofort argumentieren, dass der so erhaltene Raum ein Vektorraum ist. Dadurch, dass man lineare Abbildungen von V in den Grundkörper betrachtet, wird Hom(V,K) immer ein Modul über dem Endomorphismenring End_K(K) sein. Dann kann man sich noch darüber verbreitern, dass die Wahl von K als Zielvektorraum cool war, denn End_K(K) bildet sogar einen Körper. Dieses Konzept kommt später wieder, z.B. bei Charakteren von Gruppen. Vielleicht kann man nachdem man die Grundvorstellung dargelegt hat auch umschwenken und ein wenig über die Anwendung im Falle von Hyperebenen reden.

Ein heuristisches Argument für die Dimension kann man gut am Raum der Polynome höchstens n-ten Grades herleiten.

Wieviele Informationen über ein Polynom brauchen wir, um es zu identifizieren (nach Art der "Steckbriefaufgabe")?

Reichen n+1 Funktionswerte immer? Mit der Lagrange-Darstlellung sieht man, dass die Punktauswertungen an n+1 verschiedenen Punkten wirklich eine duale Basis darstellen (diesen Begriff kann man natürlich erst viel später richtig diskutieren).

Beispiele im n-dimensionalen euklidischen Raum haben den didaktischen Nachteil, dass Raum und Dualraum per Skalarprodukt entsetzlich isomorph sind und von Anfängern nicht gut auseinander gehalten werden können

Hier die Ergebnisse aus unserem Workshop zur Grundvorstellung zum Dualraum: https://docs.google.com/document/d/1py9kIlV-1qZrGMVYmz2RoqYK1CJwZieFkF6xOXFOPO8/edit#
Favorit war soweit: Vektoren im Dualraum als lineare Messfunktionen

ZornschesLemma renamed this task from Grundvorstellung zum Dualraum to Aritkel "Dualraum".Mar 8 2021, 1:13 PM
ZornschesLemma added a subscriber: Ilaria.

Einleitung ist geschrieben, kann noch gefeedbackt werden.
Restlicher Artikel muss noch geplant werden.

Ideen aus der Redaktionssitzung:

Können wir mit den Messfunktionen den ganzen Vektorraum bestimmen?

  • Haben wir einen Koordinatenraum K^n, so können wir jede Koordinate messen, d.h. für jede Koordinate i, gibt es eine lineare Messabbildung f:K^n\to K so dass f(e_i)\neq 0
  • Verallgemeinerung auf irgendeinen endl. dim VR V (Basis b_1,...,b_n): Wir können jeden Basisvektor messen, d.h. für jeden Basisvektor b_i, gibt es eine lineare Messabbildung f:V\to K so dass f(b_i)\neq 0

Gegenbeispiel: Messabbildungen von \R^3, s.d. f(a,b,c)=f(a,b,0) --> würde nie die letzte Koordinate messen
Was erfüllt das Gegenbsp. nicht:

  • Gegeben zwei l.u. vektoren v,w\neq 0, gibt es eine Messfunktion f, s.d. f(v)=1 und f(w)=0: (0,0,1) und (1,0,0) sind l.u. aber keine Messfunktion erfüllt f(0,0,1)=1 und f(1,0,0)=0
  • Immer gilt f(0,0,1)=0