Guter Punkt, da habt ihr vollkommen recht. Ein Ausdruck wie "Die Vektoren.. " lässt ja offen, ob es eine Menge oder eine Familie ist. Also müssen wir einen guten Platz finden, wo wir den Begriff "Familie" definieren. Ob wir das an anderen Stellen brauchen? Wenn nicht, kann man eine kleine Begründungad hoc in dieses Kapitel einbauen.

Satz ergänzt

"Die Definition der Linearen Abhängigkeit" ist bearbeitet und jetzt Dimensionsunabhängig.

Vorschlag: das einfach aus Wikipedia übernehmen.
"In der linearen Algebra wird eine Familie von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden. Äquivalent dazu ist (sofern die Familie nicht nur aus dem Nullvektor besteht), dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren der Familie darstellen lässt.

Das ist nicht meine Erfahrung. Und nochmal: meinst du "endlich" oder "endlichdimensional"?

Ich bin verwirrt.
Meinst du mit "endlicher Menge" einen endlichdimensionalen Raum? Auch der \(\R^2\) ist eine unendliche Menge.
Oder willst du "Linearkombinationen" mit unendlich vielen Summanden zulassen?

Der einzige Unterschied ist, ob es eine endliche Basis gibt oder nicht. Dass man Beispeile für den nicht-endlich-Fall bring, ist ja OK.
Aber wie sollen sich denn "endlichdimensionale lineare Unabhängigkeit" und "unendlichdimensionale lineare Unabhängigkeit" unterscheiden?

Vektoren sind linear abhängig, wenn es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt.
Da Linearkombinationen immer endliche Summen sind, sehe ich überhaupt keine Notwendigkeit hier.

Ich werde mich in den nächsten Tagen mal dransetzen.
Kommentare, andere Meinungen, Ideen und Kritik sind herzlich willkommen.

Ich finde den Artikel gut, aber ziemlich lang. Vielleicht sollte man einmal den Abschnitt über Untergruppen und einmal die Punkte 9-11 auslagern.
Im Satz von Caley gibt es das Problem, dass der Begriff "homomorph" bzw. "isomorph" benutzt wird. Diese Begriffe kommen (soweit ich das sehen kann) aber nur im Zusammenhang mit Vektorräumen vor.

Ein heuristisches Argument für die Dimension kann man gut am Raum der Polynome höchstens n-ten Grades herleiten.